Ngebor Numerik

ANALISA NUMERIK, SIAPA TAKUT ?


Analisa numerik adalah salah satu mata kuliah yang cukup terkenal di kalangan mahasiswa teknik. Di lingkungan UPN, mata kuliah ini cukup dikenal di kalangan mahasiswa Fakultas Teknik Industri dan Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan. Analisa Numerik adalah salah satu mata kuliah yang cukup menarik untuk dikaji lebih mendalam. Mengapa ? Karena mata kuliah ini tidak hanya merupakan ilmu pengetahuan bagi mahasiswa melainkan juga merupakan suatu seni. Dalam usaha untuk mencapai solusi dari suatu problema pihak mahasiswa tidak hanya harus mengetahui dengan benar rumus-rumus yang ada tetapi juga dituntut kepekaannya atau intuisinya untuk memecahkan problem tersebut dengan benar dan efisien. Nah, disinilah peran seni dari analisa numerik tersebut ! Sebagai contoh ada problem untuk mencari akar-akar dari suatu fungsi polinomial sebagai berikut :

Y = f(x) = x3 – 7x2 – 2x + 1



Grafik Fungsi Polinom Y = f(x) = x3 – 7x2 – 2x + 1 interval –10 sampai 10


Bila dikehendaki mencari salah satu akar dari fungsi polinomial tersebut, maka pihak mahasiswa dapat langsung menggunakan metode yang paling simple dan singkat seperti Metode “Setengah Interval” atau Bisection dimana metode ini digunakan untuk menjepit salah satu akar diantara selang nilai ( awal dan akhir ) yang dimasukkan sebagai input mula-mula. Disamping itu bisa digunakan “Metode Posisi Salah” atau Regula False, dimana akar yang diduga terletak pada suatu nilai x tertentu didekati dengan posisi awal dan akhir sebagai nilai mula-mula. Tetapi apabila dikehendaki semua akar dari fungsi polinomial tersebut harus dicari maka persoalannya menjadi lain lagi. Disini tidak bisa digunakan lagi Metode Bisection atau Regula False karena kedua metode tersebut memiliki keterbatasan yakni hanya dapat mencari salah satu akarnya saja. Untuk hal tersebut harus digunakan metode yang lain dan dalam analisa numerik dikenal dengan Metode Faktorisasi pangkat 3 atau disingkat FP-3. Dalam metode ini fungsi polinomial tersebut dipecah menjadi perkalian dua buah persamaan (linier dan kuadratis ) atau dalam kalimat matematis dapat ditulis sebagai berikut :

x3 + A2x2 + A1x + A0 = ( x + bo ) ( x2 + a1.x + ao )

x3 – 7x2 – 2x + 1 = ( x + bo ) ( x2 + a1.x + ao )

Disini terlihat bahwa nilai A2= -7 ; A1= -2 ; A0 = +1 , dan hubungan kedua ruas adalah : A0= bo.ao ; A1= ao + bo.a1 ; A2= a1 + bo
Dari ketiga persamaan tersebut kita dapat menemukan nilai bo, ao dan a1 sehingga polinomial pangkat 3 dapat disederhanakan menjadi persaman linier dan kuadrat. Persamaan kuadrat kemudian dapat dicari akarnya dengan metode ABC. Nah, akhirnya semua akar dari fungsi polinom tersebut dapat diketemukan !.
Berikut ini diberikan flowchart dan program komputer dalam bahasa pemrograman FORTRAN-77 dan bahasa pemrograman Q-BASIC untuk mencari akar-akr fungsi polinom dengan Metode Bisection.